Phép tính đa biến từ nguyên tắc đầu tiên
Một tích phân đơn đo diện tích dưới một đường cong. Tích phân kép đo thể tích dưới một bề mặt. Phủ một vùng trên mặt phẳng bằng những ô nhỏ, nhân diện tích mỗi ô với chiều cao của bề mặt phía trên nó, cộng tất cả lại, rồi cho kích thước các ô nhỏ dần về 0. Đó chính là ý tưởng tổng Riemann được nâng lên thêm một chiều.
Bạn tính nó bằng tích phân lặp: tích phân theo một biến, rồi theo biến kia. Định lý Fubini là điều khiến cách này khả thi, vì với các hàm liên tục, bạn có thể tích phân theo thứ tự nào trước cũng được mà vẫn ra cùng một đáp án.
Hãy tưởng tượng đo tổng lượng mưa thu được trên toàn bộ cánh đồng. Mưa rơi không đều, nặng hơn ở góc này, nhẹ hơn ở góc khác, vì vậy bạn nhẩm cắt thửa ruộng thành các ô vuông nhỏ, nhân diện tích mỗi ô với độ sâu lượng mưa cục bộ ở đó rồi cộng từng mảng. Để các miếng vá co lại biến tổng đó thành tích phân kép của độ sâu f(x, y) trên trường.