Phép tính đa biến từ nguyên tắc đầu tiên
Thêm một chiều nữa và bạn có tích phân bội ba: thay vì lát một vùng 2 chiều, bạn lấp đầy một vật rắn 3 chiều bằng những hộp nhỏ, lấy giá trị của hàm tại mỗi hộp làm trọng số rồi cộng lại. Bộ máy vẫn như trước — tổng Riemann, rồi tích phân lặp — và Fubini vẫn cho bạn chọn thứ tự.
Trên một hộp [a,b]×[c,d]×[e,g], đó là ba tích phân đơn lồng nhau: tích phân theo một biến trong khi giữ cố định các biến kia, rồi đến biến tiếp theo, rồi biến cuối cùng. Mỗi bước chỉ là một phép tích phân thông thường như ở Giải tích I.
Hãy nghĩ đến việc cân một chiếc bánh xốp có mật độ thay đổi tùy theo từng nơi: thoáng ở gần phía trên, đặc hơn và ẩm hơn ở giữa. Để có được tổng khối lượng của nó, bạn phải cắt nó thành những khối nhỏ, nhân thể tích nhỏ của mỗi khối với mật độ ở đó và thêm từng mảnh vụn vào. Việc thu nhỏ các hình lập phương sẽ biến tổng đó thành tích phân ba lớp của mật độ f(x, y, z) trên chiếc bánh.