Phép tính đa biến từ nguyên tắc đầu tiên
Một ý tưởng gánh vác hầu hết giải tích nhiều biến: để lấy đạo hàm theo nhiều biến, chỉ thay đổi một biến tại một thời điểm và cố định tất cả các biến còn lại. Giữ yên y, lắc lư x, rồi hỏi f phản ứng ra sao. Tốc độ thay đổi đó là đạo hàm riêng ∂f/∂x.
Dấu ∂ uốn cong ("đê") là ký hiệu mới duy nhất. Mọi thứ khác đều là phép lấy đạo hàm của Giải tích I (quy tắc lũy thừa, quy tắc tích, quy tắc dây chuyền) áp dụng như thể các biến cố định chỉ là hằng số.
Đứng trên sườn đồi và độ dốc mà bạn cảm nhận được phụ thuộc vào hướng bạn đối mặt. Đi về phía đông, giữ cố định vị trí bắc-nam của bạn và độ dốc dưới chân là đạo hàm riêng ∂f/∂x. Thay vào đó, hãy rẽ và đi về hướng bắc, giữ cố định hướng đông-tây và bạn cảm thấy một độ dốc khác, ∂f/∂y. Mỗi phần đóng băng một hướng và báo cáo sự tăng hoặc giảm theo hướng khác.