Phép tính đa biến từ nguyên tắc đầu tiên
Giống như hàm 1 chiều có đạo hàm bậc hai, hàm nhiều biến có đạo hàm riêng bậc hai. Bạn lấy đạo hàm hai lần. Điểm mới là bây giờ ở mỗi lần bạn có thể chọn biến nào để lấy đạo hàm theo, và một điều gọn gàng xảy ra khi bạn trộn chúng lại.
Đạo hàm riêng bậc hai thuần túy ∂²f/∂x² và ∂²f/∂y² đo độ cong dọc theo mỗi trục. Đạo hàm riêng hỗn hợp ∂²f/∂x∂y lấy đạo hàm trước theo y, rồi theo x; nó đo độ dốc theo một hướng thay đổi ra sao khi bạn di chuyển theo hướng kia.
Phần đầu tiên cho bạn biết độ dốc của sườn đồi; phần thứ hai cho bạn biết độ dốc đó thay đổi như thế nào khi bạn di chuyển, đó là độ cong của độ dốc. Đi về phía đông, mặt đất tiếp tục dốc hơn hay bắt đầu chững lại? Phần uốn cong về phía đông ∂f/∂x khi bạn nhấn xa hơn về phía đông là phần thứ hai ∂²f/∂x², độ cong của ngọn đồi dọc theo hướng đó.