Hình học và đại số của các ứng dụng tuyến tính, vectơ và ma trận
Nghịch đảo A⁻¹ là phép biến đổi hoàn tác A. Áp dụng A rồi đến A⁻¹, mọi vectơ đều trở về chỗ cũ: A⁻¹A = AA⁻¹ = I. Nếu A quay 30°, thì nghịch đảo của nó quay ngược lại 30°; nếu A nhân đôi độ dài, thì nghịch đảo của nó chia đôi độ dài.
Không phải ma trận nào cũng hoàn tác được. Nghịch đảo chỉ tồn tại khi A có hạng đầy đủ, tương đương với khi định thức của nó khác 0. Lý do mang tính hình học: nếu A ép phẳng không gian (nén một hướng về 0, giống như ma trận hạng thấp), thông tin bị phá hủy và không có cách nào dựng lại. Ma trận như vậy gọi là suy biến.
Với ma trận 2×2, có một công thức dạng đóng dễ nhớ. Hoán đổi hai phần tử trên đường chéo chính, đổi dấu hai phần tử ngoài đường chéo, rồi chia cho định thức: