Hình học và đại số của các ứng dụng tuyến tính, vectơ và ma trận
Phần lớn các vectơ bị lệch hướng khi một ma trận tác động lên chúng: chúng vừa quay vừa giãn. Nhưng có một số hướng đặc biệt là bất biến. Ma trận chỉ kéo dài hoặc lật chúng, không bao giờ xoay chúng. Đó là vectơ riêng, và hệ số giãn là giá trị riêng.
Đọc thành lời: áp dụng A lên vectơ riêng v của nó sẽ cho ra cùng hướng, chỉ được nhân tỉ lệ bởi λ. Nếu λ = 2, hướng đó dài gấp đôi; nếu λ = −1, nó bị lật; nếu λ = 0.5, nó co lại còn một nửa. Các vectơ riêng tạo thành bộ khung của phép biến đổi, tức những trục mà trên đó phép biến đổi hoạt động đơn giản nhất.
Hãy kéo một vectơ quanh hình. Hầu hết các hướng đều xoay rõ rệt dưới tác động của A; chỉ dọc theo hướng vectơ riêng thì đầu ra mới song song với đầu vào.