Hình học và đại số của các ứng dụng tuyến tính, vectơ và ma trận
Chéo hóa viết lại một ma trận trong hệ tọa độ tự nhiên nhất của chính nó, hệ được dựng từ các vectơ riêng của nó. Trong hệ đó, ma trận trở thành đường chéo: nó không làm gì khác ngoài việc nhân tỉ lệ trên từng trục riêng theo giá trị riêng tương ứng. Một phép biến đổi rối rắm trở thành một phép biến đổi đơn giản.
Ở đây P có các vectơ riêng làm cột, còn D là ma trận đường chéo chứa các giá trị riêng. Đọc tích từ phải sang trái như một công thức ba bước: P⁻¹ đổi sang tọa độ riêng, D nhân tỉ lệ trên từng trục, rồi P đổi ngược lại. Một phép biến đổi rối rắm được thể hiện thành phép kéo giãn thuần túy nằm giữa hai lần đổi góc nhìn.
Chéo hóa khiến việc tính lũy thừa của ma trận gần như miễn phí. Vì các cặp P⁻¹P ở giữa triệt tiêu nhau, ta có Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹, và nâng một ma trận đường chéo lên lũy thừa chỉ đơn giản là nâng từng phần tử trên đường chéo lên lũy thừa đó. Không cần nhân ma trận lặp đi lặp lại.