Hình học và đại số của các ứng dụng tuyến tính, vectơ và ma trận
Hãy cho mình vài vectơ và hai phép biến đổi: co giãn mỗi vectơ (nhân với một số bất kỳ) và cộng các kết quả lại. Bất kỳ vectơ nào bạn tạo được theo cách này đều là một tổ hợp tuyến tính của tập ban đầu. Toàn bộ tập hợp mọi vectơ có thể tạo được gọi là không gian sinh (span).
Không gian sinh là ý tưởng trung tâm ở đây, nên hãy hình dung nó thật cụ thể. Một vectơ khác 0, được co giãn theo mọi hướng, quét nên một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Hai vectơ chỉ về hai hướng thực sự khác nhau quét nên cả một mặt phẳng. Thêm một vectơ thứ ba nhô ra khỏi mặt phẳng đó, bạn sẽ lấp đầy toàn bộ không gian 3 chiều.
Dự trữ hai nguyên liệu cơ bản trong máy xay của bạn — chẳng hạn như mũi tên chuối và mũi tên quả mọng. Sinh tố là bất kỳ hỗn hợp nào trong đó bạn chia tỷ lệ từng phần đế (ít nhiều) và đổ chúng lại với nhau; đó là sự kết hợp tuyến tính. Thực đơn đầy đủ của mọi loại sinh tố mà bạn có thể pha trộn từ các đế đó là khoảng — của chúng và nếu cả hai đế đều kéo theo các hướng thực sự khác nhau, thì menu đó sẽ lấp đầy toàn bộ mặt phẳng hương vị.