Hình học và đại số của các ứng dụng tuyến tính, vectơ và ma trận
Một ma trận không chỉ là một lưới các con số. Nó là một hàm biến đổi không gian: đưa cho nó một vectơ x và nó trả lại một vectơ mới Ax. Trên toàn mặt phẳng, nó hoạt động như một chuyển động mạch lạc (quay, kéo giãn, phản xạ, trượt, chiếu) áp dụng đồng thời cho mọi điểm.
Điều khiến nó tuyến tính là nó tôn trọng hai phép toán vectơ: A(x + y) = Ax + Ay và A(cx) = c·Ax. Đường thẳng vẫn thẳng, gốc tọa độ vẫn đứng yên, và các lưới cách đều ánh xạ thành các lưới cách đều (có thể bị nghiêng).
Đây là cách đọc một ma trận bằng mắt: các cột của nó cho biết các vectơ cơ sở đáp xuống đâu. Cột đầu tiên là ảnh của [1, 0]; cột thứ hai là ảnh của [0, 1]. Khi bạn biết hai trục đi đâu, toàn bộ phép biến đổi được xác định, vì mọi vectơ khác đều là tổ hợp của chúng.