乘积法则与商法则

从第一性原理出发的单变量微积分

当两个函数相乘时，不能只是把它们的导数相乘。这个捷径很诱人，但它是错的。正确规则要考虑到两个因子都在同时变化。

想象一个矩形，宽是 f，高是 g；它的面积是 f·g。如果两条边都稍微增长，面积会从两个方向增加：宽度变大产生一条带，高度变大又产生一条带。所以答案有两项，而不是一项。

想象一个长方形花园，其宽度和长度同时在扩张。新的面积不仅是一条带子，你在较长的宽度上获得了一条带子，并且在较长的高度上获得了一条带子。这就是乘积法则有两个项的原因：当两个变化的量相乘时，每一个的增长都为总数贡献了自己的一份份额。