凸性

从第一性原理出发的单变量微积分

凸性是让优化变容易的形状。凸函数处处像碗一样向上开，而这一个性质就让最小化变得简单：它恰好有一个最低点，任何下坡路径都会直接通向它。

凸性有三种等价的观察方式。第一，二阶导数处处非负：f″(x) ≥ 0。第二，曲线凹向上，从不向下弯。第三，也是定义图像：任意两点之间的弦都位于曲线之上。

想象一个平滑的山谷，或者一个碗的内部，并在这个山谷沿途任意丢下一颗弹珠。不管它从哪里开始，弹珠总是滚到那个唯一的最低点并停在那里。这正是凸性带给你的：一个山谷，没有假底部，因此任何向下的路径都会指向那唯一真正的极小值。