关键 Taylor 级数

从第一性原理出发的单变量微积分

少数几个 Taylor 级数非常常见，值得熟记。识别它们后，你就能一眼展开、近似和化简，而不必每次重新推导系数。

注意这些模式：eˣ 使用每个幂并除以阶乘；sin 只使用奇次幂（它是奇函数），cos 只使用偶次幂；几何级数 1/(1−x) 就是所有幂的系数都为 1。

级数只在某个收敛半径内等于它的函数。对于 eˣ、sin 和 cos，半径是无穷大；它们对每个 x 都有效。但 1/(1−x) 和 ln(1+x) 只在 |x| < 1 时收敛；超过这个范围，级数会发散成无意义的东西。

在机器学习中的应用这些级数是无数机器学习推导的闭式骨架。softmax 和 log-sum-exp 依赖 eˣ 级数；几何级数 1/(1−γ) 给出强化学习中无限折扣奖励流的值；ln(1+x) 出现在对数似然和 log1p 等稳定实现中。识别这些级数，是手工化简这些表达式的方法。