Jacobian 矩阵

从第一性原理出发的多变量微积分

当输出也是向量时，即函数 f: Rⁿ → Rᵐ，一个梯度就不够了。你需要每个输出对每个输入的偏导数。把它们全部堆成一个矩阵，就得到 Jacobian J，也就是向量值映射的完整一阶导数。

J 的第 i 行就是第 i 个输出的梯度。所以 Jacobian 是一堆梯度，每个输出坐标一个。它的形状是 m × n：行数等于输出数，列数等于输入数。

想象一个音响工程师的调音台，每个输出通道都会对每个输入旋钮做出响应。雅可比矩阵就是写出来的那个敏感度表：每个条目说明当你轻推一个输入旋钮时，一个输出变动了多少。横向读取一行可以看到驱动单个输出的所有因素；纵向读取一列可以看到一个旋钮控制的所有对象。