二重积分

从第一性原理出发的多变量微积分

单积分测量曲线下的面积。二重积分测量曲面下的体积。用很多小方块覆盖平面上的一个区域，把每个小方块的面积乘以其上方曲面的高度，再把它们相加，然后让方块缩小。这就是 Riemann 和的思想提升到更高一维。

计算它的方法是迭代积分：先对一个变量积分，再对另一个变量积分。Fubini 定理让这件事变得实用，因为对连续函数来说，你可以按任意顺序积分，并得到同一个答案。

想象一下测量整个场地上收集到的降雨总量。雨下得不均匀，在一个角落附近较大，在另一个角落较小，所以你在脑海中把这块场地切成小正方形，将每个正方形的面积乘以那里的局部降雨深度，然后把每一个区块加起来。让这些区块收缩就将这个和转化为深度 f(x, y) 在该场地上的二重积分。