从第一性原理出发的多变量微积分
再增加一个维度，就得到三重积分：不是平铺二维区域，而是用很多小盒子填充一个三维实体，并按函数在那里的取值给每个盒子加权再求和。机制和之前相同：Riemann 和之后进行迭代积分，而 Fubini 仍然允许你选择顺序。
在盒子 [a,b]×[c,d]×[e,g] 上，它就是三个嵌套的单积分：保持其他变量不变，先对一个变量积分，再对下一个，最后对最后一个积分。每一步都是课程 I 中的普通积分。
想象一下称重一块密度各处不同的海绵蛋糕：在顶部附近很蓬松，在中间则更密集也更湿润。为了得到它的总质量，你会把它切成微小的立方体，将每个立方体的微小体积乘以正那里的密度，然后加上每一块碎屑。将这些立方体缩小，就把这个和转化为密度 f(x, y, z) 在蛋糕上的三重积分。