从第一性原理出发的多变量微积分
最后一课把这门课的两半连接起来。当你通过代换 x = g(u) 在积分中改变变量时，必须考虑这个代换如何拉伸空间。这个拉伸因子就是模块 3 中的 Jacobian 行列式，所以最终公式正是这门课中导数和积分相遇的地方。
这是课程 I 中 u-代换的多变量推广。在一维里，因子是 |dx/du|，也就是一个 1×1 的“Jacobian”。这里它变成 |det J_g|，即体积缩放因子：当映射 g 把 u-空间的小盒子压缩或扩张成 x-空间中的小盒子时，行列式会重新缩放积分，使总量保持正确。
试图用方形的 x-y 瓷砖在一个圆形区域上进行积分，就像用长方形的砖块铺设一个圆形的环岛：边缘永远无法整齐贴合。切换到环绕中心的圆形（极）坐标，形状就会自然而然地落入正轨。切换的代价是拉伸因子，它把面积元素变成了 r dr dθ，因为离中心越远的环覆盖的空间越多。