从第一性原理出发的多变量微积分
到目前为止，输出都是一个数字。现在让输出也变成向量。函数 f: Rⁿ → Rᵐ 接收一个向量，返回一个向量：多个数字输入，多个数字输出。这正是神经网络层的形状：一个输入向量进入，经过变换后的向量离开。
理解任何向量值函数的方法，是一次读一个输出坐标。每个输出分量本身都是一个普通的标量函数 Rⁿ → R，称为分量函数。把 m 个这样的函数堆起来，就得到整个映射。
一个调音台可将几个输入旋钮同时转换为多个输出读数：轻推滑块，每个仪表都会一起响应。这就是一个函数 f: Rⁿ → Rᵐ：输入一个向量，输出一个向量。为了理解它，你一次只能读取一个仪表，因为每个输出坐标 f₁，f₂ 等等都有其自己的基于相同输入旋钮构建的常规配方。