Rⁿ 中的极限与连续性

从第一性原理出发的多变量微积分

在直线上，你只能从左右两侧靠近一个点。在平面以及更高维空间中，你可以沿无限多个方向、任意路径靠近一个点。这个额外自由度让 Rⁿ 中的极限真正变难；这一课更像是提醒，而不是公式流程。

函数 f 在点 p 处有极限 L，只有当你沿任何路径进入时，它都趋向同一个 L。如果两条不同路径给出两个不同答案，极限就根本不存在。

你同意在广场中央的一个喷泉处与朋友见面。你可以从北入口、东小巷或穿过广场的任何蜿蜒对角线走向它，但你最终必须到达同一个喷泉。Rⁿ 中的极限要求的正是这一点：无论你走哪条路径，该函数都必须趋向于一个值。如果两条路径所到达的位置不一致，则没有会合点，并且极限不存在。