从第一性原理出发的多变量微积分
偏导数只告诉你沿坐标轴方向的斜率，但你可以沿任何方向走。方向导数 D_u f 回答的是：如果我沿单位向量 u 前进一步，f 变化得有多快？答案正好是与梯度的一个点积。
想象一下徒步穿过同一座山丘，但你选择的不是直接面向山上，而是选择一个指南针方位（比如东北方向）并朝那边走。方向导数 D_u f 就是你沿着该方向在靴子下实际感受到的坡度。朝向最陡峭的方向，你会感受到全部的攀爬感；沿着山坡侧向转身，地面就会感觉是平的。
因为 D_u f = ∇f·u = ‖∇f‖‖u‖cos θ = ‖∇f‖cos θ（因为 u 是单位向量），变化率在 cos θ = 1 时最大，也就是当 u 与 ∇f 同向时最大。旋转下面的方向箭头，观察当它与梯度对齐时斜率读数达到峰值，而垂直时变为零。