点积

线性映射、向量与矩阵的几何与代数

点积接收两个向量并返回一个数。做法很简单：把对应分量相乘，再把结果加起来。这个朴素算术带有几何意义：点积衡量两支箭头有多朝同一个方向。

右边的形式最值得依赖。|a| 和 |b| 是长度，θ 是两支箭头之间的角度。所以点积的符号可以立刻读出几何：正表示箭头大致同向（θ < 90°），负表示它们相反（θ > 90°），正好为零表示它们垂直。最后一种情况会反复出现。

想象在刮风时推着一辆购物车。你的推力和风的点积告诉你这两个箭头的对齐程度：当风对你起顺向帮助作用时，它很大且为 positive，当风径直横穿你的路径且不做功时为 zero，当风反向推挤你时为负。作为相似度分数来解读，更大的点积简单地表示“这两个箭头更加一致”。