二次型

线性映射、向量与矩阵的几何与代数

二次型 xᵀAx 接收一个向量并返回一个数，这个数随 x 二次变化，是 ax² 的矩阵版本。当 x 遍历所有方向时，这个数描出一个曲面，而矩阵 A（取为对称）决定这个曲面的形状。

它的特征值就是沿特征轴方向的曲率，而它们的符号能完全分类这个曲面。全为正：向上开的碗（正定），有干净的最小值。全为负：穹顶（负定），有最大值。符号混合：鞍面（不定），有些方向向上，有些方向向下。

在图中切换特征值符号，观察曲面如何在碗、穹顶和鞍面之间变形。