矩阵作为线性映射

线性映射、向量与矩阵的几何与代数

矩阵不只是数字网格。它是一个变换空间的函数：输入一个向量 x，它返回一个新向量 Ax。在整个平面上，它作为一个一致的运动起作用（旋转、拉伸、反射、剪切、投影），同时作用于每个点。

它之所以线性，是因为它尊重两个向量运算：A(x + y) = Ax + Ay 和 A(cx) = c·Ax。直线仍然变成直线，原点保持不动，等距网格会映射为等距（可能倾斜）的网格。

用眼睛读矩阵的方法是：它的列就是基向量落到哪里。第一列是 [1, 0] 的像；第二列是 [0, 1] 的像。一旦知道两条坐标轴去了哪里，整个变换就确定了，因为其他每个向量都是它们的组合。