期望与方差（连续）

不确定性的数学

你学过的期望和方差会完整推广到连续变量。只需要把求和换成积分。PMF 权重 p(x) 变成密度 f(x) dx，而“对所有值相加”变成“在整条实线上积分”。

直觉完全相同：E[X] 仍然是密度质量的平衡点，方差仍然是到该点的平均平方距离。线性性和缩放规则 Var(aX+b)=a²Var(X) 也全部保持不变。

想象一个跷跷板，上面的重量不均匀地涂抹在木板上，而不是坐在一个点上。它达到平衡的那个点就是 E[X]，即密度的平均值。重量被抛出远离那个支点有多远，以平均平方距离来衡量，就是 Var(X)：聚集在中心附近的重量意味着较小的方差，推到两端的重量意味着较大的方差。