多变量 Gaussian

不确定性的数学

真实数据很少只是一个数字。它通常是一个向量。多变量 Gaussian N(μ, Σ) 把钟形曲线扩展到多维。均值变成向量 μ ∈ ℝⁿ（点云中心），方差变成协方差矩阵 Σ（点云的形状和倾斜）。

指数项推广了 z-score：(x−μ)ᵀΣ⁻¹(x−μ) 是平方的 Mahalanobis 距离，也就是用数据自身的扩散单位来衡量离均值有多远。等密度点形成椭圆（高维中是椭球）；协方差矩阵决定它们的大小、拉伸和倾斜。

Σ 的对角线保存每个坐标的方差；非对角线保存协方差，告诉你坐标是否一起上升。对角的 Σ 给出轴对齐椭圆（坐标独立）；非对角项会让椭圆倾斜。Σ 必须是半正定的，因为任何方向上都不存在负方差。