الاتصال

التفاضل والتكامل أحادي المتغير من المبادئ الأولى

بشكل غير رسمي، تكون الدالة متصلة إذا استطعت رسمها دون رفع قلمك: لا ثقوب، ولا قفزات، ولا انفجارات مفاجئة. والنسخة الدقيقة تثبّت هذا بالنهاية التي تعلّمتها للتو: عند كل نقطة، يجب أن يتطابق المكان الذي تتجه إليه الدالة مع المكان الذي هي فيه فعلًا.

ثلاثة أشياء يجب أن تتوافق جميعًا: f(a) موجودة، والنهاية موجودة، وهما متساويتان. إذا فشل أيٌّ من الثلاثة، يكون لديك عدم اتصال، وهناك ثلاثة أنواع منه بالضبط.

عدم الاتصال القابل للإزالة هو نقطة مفقودة واحدة، أي ثقب، حيث توجد النهاية لكن الدالة تخطّت تلك القيمة (مثل ثقب (x²−4)/(x−2)). القفزة هي عندما تختلف النهايتان اليسرى واليمنى، فيقفز الرسم البياني من مستوى إلى آخر. وعدم الاتصال اللانهائي هو خط مقارب رأسي، حيث تنطلق الدالة إلى ±∞ (مثل 1/x عند 0).