المشتقّة

التفاضل والتكامل أحادي المتغير من المبادئ الأولى

تجيب المشتقّة عن سؤال واحد: كم تتغيّر دالّة بسرعة في لحظة واحدة؟ هندسيًّا، ذلك هو ميل المنحنى عند نقطة واحدة بالضبط، ميل المماس الذي يلامس المنحنى هناك.

فكّر في عداد السرعة في سيارة متحركة. سرعتك المتوسطة على مدى ساعة هي المسافة الإجمالية مقسومة على الوقت الإجمالي، لكن المؤشر يعرض شيئًا أكثر دقة: بالضبط مدى سرعتك في هذه اللحظة بالذات. المشتقة هي ذلك المؤشر، وهي معدل التغير مجمدًا في لحظة واحدة بدلاً من أن يكون موزعًا عبر فترة زمنية.

لكن هاهنا اللغز. الميل يحتاج إلى نقطتين: ارتفاع على امتداد. نقطة واحدة لا تمنحك مكانًا تقيس منه. فكيف يمكن لنقطة وحيدة أن يكون لها ميل أصلًا؟ الحيلة هي أن تتسلّل نحوها.