قابلية الاشتقاق

التفاضل والتكامل أحادي المتغير من المبادئ الأولى

الدالة هي قابلة للتفاضل في نقطة إذا كان لها ميل واحد وواضح هناك: خط مماس واحد، بلا غموض. معظم المنحنيات الناعمة قابلة للتفاضل في كل مكان. لكن بعض الدوال، رغم أنها مستمرة تمامًا، لديها نقطة حيث لا يمكن تحديد الميل ببساطة. فهم أين تفشل الاشتقاقات في ذلك مهم بنفس القدر من الحساب.

إذا كانت الدالة لها ميل في نقطة ما، لا يمكن أن يكون هناك انقطاع هناك، لذا قابلة للتفاضل ⇒ مستمرة. العكس غير صحيح: يمكن أن تكون الدالة مستمرة (قابلة للتخطيط بدون رفع القلم) ومع ذلك لا تزال تعاني من عدم وجود ميل في نقطة ما. الفجوة بين "مستمرة" و "قابلة للتفاضل" هي الجزء المثير بالضبط.

القيمة المطلقة |x| هي المثال القياسي. هي مستمرة في كل مكان، بدون انقطاع عند الصفر. لكن في الزاوية الحادة نفسها، الميل الداخل من اليسار هو −1 والمخرج إلى اليمين هو +1. ميلان مختلفان يلتقيان في نقطة حادة، لذا لا يوجد خط مماس واحد. الاشتقاق لا يوجد عند x = 0.