التفاضل والتكامل أحادي المتغير من المبادئ الأولى
عندما تكون هناك دالتان مضروبتين معًا، لا يمكنك فقط ضرب مشتقاتهما. هذا هو الحل السريع المغري، وهو خاطئ. القاعدة الصحيحة تأخذ في الاعتبار أن كلا العوامل يتغيران معًا.
تخيل مستطيلًا عرضه f وارتفاعه g؛ مساحته هي f·g. إذا تزايدت الطرفين قليلاً، فإن المساحة تتزايد من جانبين: شريط من العرض الأعرض، بالإضافة إلى شريط من الارتفاع الأطول. هذا هو السبب في أن الإجابة تحتوي على مصطلحين وليس واحدًا.
تخيل حديقة مستطيلة يتم تمديد عرضها وارتفاعها معًا في نفس الوقت. المساحة الجديدة ليست مجرد شريط واحد، بل تكتسب شريطًا على طول العرض الأطول و شريطًا على طول الارتفاع الأطول. لهذا السبب تتكون قاعدة الضرب من حدين: عندما تتضاعف كميتان متغيرتان، يساهم نمو كل منهما بشريحته الخاصة في الإجمالي.