المجاميع الجزئية

التفاضل والتكامل أحادي المتغير من المبادئ الأولى

خذ متتاليةً وابدأ في جمع حدودها تباعًا. بعد حدٍّ واحد يكون لديك a₁. وبعد حدّين، a₁ + a₂. وبعد ثلاثة، a₁ + a₂ + a₃. كلٌّ من هذه المجاميع الجارية يسمّى مجموعًا جزئيًا، ويُكتب Sₙ — مجموع أول n حدًّا.

المجاميع الجزئية نفسها تكوّن متتاليةً جديدة (S₁, S₂, S₃, …)، ويمكننا أن نطرح السؤال نفسه الذي طرحناه في الدرس السابق: هل يستقرّ هذا المجموع الجاري على نهاية؟ إن فعل، سمّينا تلك النهاية مجموع المتسلسلة.

تخيل جرة بقشيش تستمر في ملئها: كل إجمالي تراكمي هو مجموع جزئي، أي المال الموجود في الجرة بعد آخر مساهمة. إذا كانت كل مساهمة تساوي نصف حجم التي تسبقها — مثل إضافة 1/2 + 1/4 + 1/8 + … من الدولار — فإن الجرة تمتلئ بسرعة في البداية، ثم ترتفع بالكاد، لتقترب من سقف. هذا السقف الذي لا تتجاوزه أبدًا هو مجموع المتسلسلة، وهنا يساوي بالضبط 1 دولار.