التفاضل والتكامل أحادي المتغير من المبادئ الأولى
في الدروس السابقة اضفت قائمة من الأرقام وسألت أين كان المجموع الكلي يتجه. الآن نخطو خطوة جريئة: ماذا لو كانت الأشياء التي نضيفها هي قطع كثيرة جداً، رقيقة جداً؟ تلك الخطوة الفريدة - إضافة القطع الصغيرة ثم أخذ الحد - هي فكرة التكامل بالكامل.
هذا هو الرسم. تريد المساحة تحت منحنى، لكن الجزء العلوي موجي، لذا ليس هناك ارتفاع واحد لتضربه في العرض. لذلك تخدع بحذر: غطي المنطقة بأحجام مستقيمة رقيقةمستطيلة, كل واحدة ضيقة جداً بحيث يكون المنحنى تقريباً مستقيمًا عبرها. أضف مساحاتها. لن تحصل على الإجابة الدقيقة - الأعلى للمساحة المستطيلة يبرز فوق أو ينخفض تحت المنحنى - لكنك ستقترب منها. ثم جعل المستطيلات رقيقة.
لإيجاد مساحة منطقة غريبة الشكل، تخيل ملأها بالعديد من الشرائط الرأسية الرفيعة، مثل رص صف من العملات المعدنية جنبًا إلى جنب تحت المنحنى. كل شريط ضيق جدًا لدرجة أن قمته مسطحة تقريبًا، لذا يمكنك التعامل معه كمستطيل بسيط وجمع المساحات. كلما قطعت الشرائط بشكل أرق — وكلما جعلت Δx أصغر — كلما ملأت الحزمة المنطقة بشكل أكثر إحكامًا، واقتربت المساحة التي تحصل عليها من الإجابة الدقيقة.