التطبيقات

التفاضل والتكامل أحادي المتغير من المبادئ الأولى

الفائدة الحقيقية لتايلور في تعلّم الآلة هي التخطيط الخطي: استبدال دالة غير خطية عنيدة بمماسها قرب نقطة مهمة. على مدى صغير يكون التقريب الخطي دقيقاً تقريباً، والأشياء الخطية أسهل بكثير في التحليل والحساب والاستدلال عليها.

الدالة السينية σ(x) = 1/(1 + e⁻ˣ) هي اللاخطية المألوفة التي تضغط القيم. قرب x = 0 تمر بـ ½ بميل ¼، لذا فإن تقريبها الخطي هو:

تتعامل خريطة شارع ورقية مسطحة مع الأرض المستديرة كمستوى مسطح بالقرب من مدينة واحدة. على مدى بضعة كيلومترات، يكون الانحناء صغيرًا جدًا لدرجة لا يهم معها، لذا فإن الورقة المسطحة دقيقة بما يكفي للتنقل بها، على الرغم من أن الكوكب عبارة عن كرة في الواقع. التقريب الخطي يفعل الشيء نفسه للدالة: بالقرب من نقطة، يستبدل المنحنى الحقيقي بخط المماس f(x) ≈ f(0) + f′(0)·x، دقيق بما يكفي محليًا وأسهل بكثير للتعامل معه.