الأُس واللوغاريتم — التفاضل والتكامل I

التفاضل والتكامل أحادي المتغير من المبادئ الأولى

دالّتان تُديران المشهد كلّه في تعلّم الآلة: الأُس eˣ ومعكوسها، اللوغاريتم الطبيعي ln(x). تظهران في الاحتمالات، وفي دوال الخسارة، وفي النموّ والاضمحلال. إتقانهما الآن يؤتي ثماره في كلّ مكان لاحقًا.

السِّمة المميِّزة لـ eˣ هي أنّ معدّل نموّها يساوي قيمتها الحاليّة — كلّما كبُرت تسلّقت أسرع. هذا هو معنى "النموّ الأُسّيّ" الحقيقيّ: ليس مجرّد "سريع"، بل نموٌّ بالتناسب مع نفسه. العدد الخاصّ e ≈ 2.718 هو الأساس الذي يتحقّق عنده هذا بالضبط.

اللوغاريتم ln(x) ببساطة يُلغي مفعول eˣ: إنّه يجيب عن "e مرفوعًا لأيّ قوّة يعطيني x؟" إذًا ln(eˣ) = x وe^{ln x} = x. ولأنّهما متعاكستان، فإنّ منحنييهما صورتان متعاكستان حول المستقيم y = x — اسحب النقطة في الشكل وراقب انعكاسها يرسم المنحنى الآخر.

أين يظهر هذا في تعلّم الآلةخسارة الإنتروبيا المتقاطعة، حصان العمل في التصنيف، مبنيّة على −ln(p) حيث p هو الاحتمال الذي أسنده النموذج إلى الصنف الصحيح. اللوغاريتم موجود تحديدًا بسبب قاعدة تحويل الجداء إلى مجموع: احتمال مجموعة بيانات كاملة جداءٌ ضخم، وأخذ ln يحوّله إلى مجموع يستطيع المُحسِّن أن يشتقّه حدًّا حدًّا. "اللوغاريتم الأرجحيّ" هو بالضبط هذه الحيلة.