التكاملات الثلاثية

التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات من المبادئ الأولى

أضف بُعداً واحداً آخر فيكون لديك التكامل الثلاثي: بدلاً من تبليط منطقة ثنائية البُعد، تملأ مجسّماً ثلاثي البُعد بصناديق صغيرة، تزن كلاً منها بقيمة الدالة هناك، ثم تجمع. الآلية هي نفسها كما من قبل، مجاميع ريمان يتبعها تكامل متكرّر، مع بقاء فوبيني يتيح لك اختيار الترتيب.

على صندوق [a,b]×[c,d]×[e,g] يكون ثلاثة تكاملات أحادية متداخلة: كامل بالنسبة لمتغيّر مع تثبيت البقية، ثم التالي، ثم الأخير. كل خطوة هي تكامل عادي من المقرّر الأول.

تخيل وزن كعكة إسفنجية تختلف كثافتها من مكان لآخر: هوائية بالقرب من الأعلى، وأكثر كثافة ورطوبة نحو المنتصف. للحصول على كتلتها الإجمالية، يمكنك تقطيعها إلى مكعبات صغيرة جداً، وضرب الحجم الصغير لكل مكعب في الكثافة هناك مباشرة، وجمع كل فتات. ترك المكعبات تتقلص يحول ذلك المجموع إلى التكامل الثلاثي للكثافة f(x, y, z) فوق الكعكة.