تغيير المتغيّرات

التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات من المبادئ الأولى

يربط هذا الدرس الأخير شطري المقرّر معاً. عندما تغيّر المتغيّرات في تكامل بالتعويض x = g(u)، عليك أن تأخذ في الحسبان كيف يقوم التعويض بتمدّد الفضاء. عامل التمدّد ذاك هو محدّد ياكوبي من الوحدة 3، فتكون الصيغة النهائية هي حيث تلتقي أخيراً مشتقات المقرّر وتكاملاته.

هذا هو التعميم متعدد المتغيّرات للتعويض بـu من المقرّر الأول. هناك كان العامل |dx/du|، وهو «ياكوبي» بحجم 1×1. أما هنا فهو |det J_g|، عامل تحجيم الحجم: فبينما تضغط الدالة g صناديق صغيرة من فضاء u أو توسّعها إلى فضاء x، يعيد المحدّد تحجيم التكامل ليبقى الإجمالي صحيحاً.

محاولة المكاملة فوق منطقة دائرية باستخدام بلاطات x-y مربعة تشبه رصف دوار دائري بطوب مستطيل: الحواف لا تتناسب بدقة أبداً. بدّل إلى إحداثيات دائرية (قطبية) تلتف حول المركز وسيتخذ الشكل مكانه بشكل طبيعي. ثمن التبديل هو عامل التمدد، الذي يحول عنصر المساحة إلى r dr dθ لأن الحلقات الأبعد عن المركز تغطي مساحة أكبر.