التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات من المبادئ الأولى
حتى الآن كان المُخرَج عدداً واحداً. دعه ينمو ليصبح متجهاً أيضاً. الدالة f: Rⁿ → Rᵐ تأخذ متجهاً وتُعيد متجهاً: أعداد كثيرة تدخل، وأعداد كثيرة تخرج. وهذا هو الشكل الدقيق لـطبقة شبكة عصبية، حيث يدخل متجه مُدخَل ويخرج متجه محوَّل.
إن طريقة فهم أي دالة متجهية القيمة هي قراءتها إحداثيّة مُخرَج واحدة في كل مرة. كل مركّبة مُخرَج هي بحدّ ذاتها دالة سُلّمية عادية Rⁿ → R، تُسمّى دالة مركّبة. كدّس m منها فيكون لديك التطبيق كله.
يحول مكتب المزج بضعة أقراص إدخال إلى قراءات إخراج متعددة في وقت واحد: حرك المنزلقات وكل عداد يستجيب معاً. هذه دالة f: Rⁿ → Rᵐ: يدخل متجه من المدخلات، ويخرج متجه من المخرجات. لفهم ذلك، تقرأ عداداً واحداً في كل مرة، لأن كل إحداثي إخراج f₁، و f₂، وهكذا هو وصفة عادية خاصة به مبنية من نفس أقراص الإدخال.