التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات من المبادئ الأولى
على خط مستقيم لم يكن بإمكانك التسلّل نحو نقطة إلا من جانبين، اليسار واليمين. أما في المستوى وما بعده، فيمكنك الاقتراب من نقطة من عدد لانهائي من الاتجاهات، على امتداد أي مسار تشاء. وتلك الحرية الإضافية تجعل النهايات في Rⁿ أصعب حقاً، وهذا الدرس تحذيرٌ أكثر منه وصفة.
للدالة f نهاية L عند نقطة p فقط إذا اتجهت نحو الـ L نفسها مهما كان المسار الذي تسلكه نحوها. وإذا أعطى مساران مختلفان جوابين مختلفين، فإن النهاية ببساطة غير موجودة.
توافق على مقابلة صديق عند نافورة في منتصف الساحة. يمكنك المشي نحوها من المدخل الشمالي، أو الزقاق الشرقي، أو أي مسار مائل متعرج عبر الساحة، ولكن يجب أن ينتهي بك المطاف عند النافورة نفسها. تتطلب النهاية في Rⁿ هذا بالضبط: يجب أن تتجه الدالة لقيمة واحدة بغض النظر عن المسار الذي تسلكه. إذا اختلفت مقاربتان حول مكان وصولهما، فلا توجد نقطة التقاء، ولا توجد نهاية.