التركيبات الخطّية والامتداد — الجبر الخطي

هندسة وجبر التحويلات الخطية والمتجهات والمصفوفات

أعطِ نفسك بضعة متجهات وحركتين: قِس كلًّا منها (اضرب بأي عدد) واجمع النتائج. أي متجه يمكنك بناؤه بهذه الطريقة هو تركيبة خطّية من مجموعتك الأولية. المجموعة الكاملة لكل ما يمكن الوصول إليه تُسمّى الامتداد.

الامتداد هو الفكرة المركزية هنا، لذا تخيّله بشكل ملموس. متجه واحد غير صفري، مقيسًا بكل الطرق، يجتاح خطًّا يمرّ بنقطة الأصل. متجهان يشيران في اتجاهين مختلفين فعلًا يجتاحان مستوى كاملًا. أضف ثالثًا يبرز خارج ذلك المستوى فتملأ كل الفضاء ثلاثي الأبعاد.

زود الخلاط الخاص بك بمكونين أساسيين — لنقل سهم الموز وسهم التوت. العصير هو أي مزيج حيث تقوم بتوسيع كل قاعدة (أكثر أو أقل منها) وتصبها معًا؛ وهذا هو مزيج خطي. القائمة الكاملة لكل عصير يمكنك مزجه من تلك القواعد هي الـ span الخاص بهم — وإذا كان كلا الأساسين يسحبان في اتجاهات مختلفة حقًا، فإن تلك القائمة تملأ مستوى النكهات بالكامل.

أين يظهر هذا في تعلّم الآلةالامتداد هو بالضبط "ما يمكن لطبقة أن تعبّر عنه." طبقة خطّية Wx لا يمكنها أن تنتج إلا مخرجات في امتداد أعمدة W، أي فضاء أعمدتها. إذا كان ذلك الامتداد يفوّت اتجاهًا تحتاجه بياناتك، فلا يمكن لأي اختيار للمدخلات استعادته؛ تكون الطبقة عمياء بنيويًا عن ذلك الاتجاه. اختيار معماريات بعرض كافٍ هو، جزئيًا، التأكّد من أن الامتداد القابل للوصول كبير بما يكفي.