المصفوفات كتحويلات خطّية — الجبر الخطي

هندسة وجبر التحويلات الخطية والمتجهات والمصفوفات

المصفوفة أكثر من شبكة أعداد. إنها دالة تحوّل الفضاء: أدخل إليها متجهًا x فتُعيد متجهًا جديدًا Ax. عبر المستوى بأكمله تعمل كحركة واحدة متماسكة (دوران، أو تمديد، أو انعكاس، أو قص، أو إسقاط) تُطبَّق على كل نقطة دفعةً واحدة.

ما يجعلها خطّية هو أنها تحترم عمليتي المتجهات: A(x + y) = Ax + Ay و A(cx) = c·Ax. تبقى الخطوط المستقيمة مستقيمة، وتبقى نقطة الأصل في مكانها، وتنطبق الشبكات المتساوية التباعد على شبكات متساوية التباعد (ربما مائلة).

إليك كيف تقرأ المصفوفة بالنظر: أعمدتها هي حيث تستقرّ متجهات الأساس. العمود الأول هو صورة [1, 0]؛ والعمود الثاني هو صورة [0, 1]. بمجرد أن تعرف إلى أين يذهب المحوران، يتحدّد التحويل بأكمله، لأن كل متجه آخر هو تركيبة منهما.

أين يظهر هذا في تعلّم الآلةمصفوفة الأوزان W في الشبكة العصبية هي بالضبط هذا: تحويل خطّي يعيد تشكيل فضاء التنشيط قبل أن تعمل اللاخطّية. كل طبقة تدوّر وتمدّد وتُسقط مدخلها في نظام إحداثيات جديد تكون فيه مهمة الطبقة التالية أسهل. "تعلّم طبقة" يعني تعلّم إلى أين تُرسل المحاور، أي تعلّم أعمدة W.