Производни от по-висок порядък — Изчисление I

Ако първата производна f′ ви показва наклона, какво показва производната на наклона? Това е втората производна f″ и тя измерва как се променя наклонът, което определя изпъкналостта/вдлъбнатостта на кривата.

Просто диференцирайте два пъти. За f(x) = x³: първо f′ = 3x², после f″ = 6x. Можете да продължите така (трета, четвърта производна), като всяка следваща е производна на предходната.

Знакът на f″ показва накъде се огъва кривата. Ако f″ > 0, кривата е изпъкнала надолу (вдлъбната нагоре): извива се като купа (∪) и наклонът нараства. Ако f″ < 0, тя е изпъкнала нагоре (вдлъбната надолу): извива се като купол (∩) и наклонът намалява. Точката, в която тази посока на огъване се сменя, се нарича инфлексна точка.

Къде се използва това в MLВтората производна е едномерният аналог на матрицата на Хесе (Hessian) – таблицата от всички втори частни производни, която се използва при оптимизация от втори ред (метод на Нютон) и за проверка дали сте намерили истински минимум. Изпъкналостта/вдлъбнатостта е точно изпъкналостта (convexity) (в следващите уроци): f″ ≥ 0 навсякъде означава единствен глобален минимум и лесен релеф за оптимизация.…