Интегриране по Риман — Изчисление I

Интегралът отговаря на въпроса, който допълва производната: не „колко бързо се променя това?“, а „колко е натрупано общо?“. Геометрично определеният интеграл е площта, затворена между кривата и оста x.

Представете си, че очертавате контура на езеро върху милиметрова хартия и искате да намерите лицето му. Не можете да умножите една ширина по една височина, защото брегът е извит. Затова броите малките квадратчета, които попадат под контура: колкото повече квадратчета, толкова по-фина е мрежата, толкова по-близо пълзи вашето преброяване до истинското лице. Римановата сума е точно това преброяване, а интегралът е числото, на което се установява, докато квадратчетата се смаляват до нищо.

За един правоъгълник площта е просто ширина × височина. Но кривата има вълнообразен връх – няма една-единствена височина, по която да умножим. Идеята на Бернхард Риман е следната: нарежете областта на тънки вертикални правоъгълници, всеки достатъчно тесен, че кривата в него да е почти права, съберете площите им, а след това вземайте все по-тънки и по-тънки резени.

Къде се използва това в MLВ теорията на вероятностите математическото очакване е интеграл. Средната стойност на дадена величина при непрекъснато разпределение е E[f(X)] = ∫ f(x) p(x) dx. Ентропията е −∫ p(x) ln p(x) dx; нормиращата константа на дадено разпределение е интеграл; KL дивергенцията също е интеграл. Непрекъснатата вероятност просто е интегриране. А когато един модел „осреднява по разпределение“, той не може да…