Основна теорема на анализа — Изчисление I

Това е теоремата, която свързва целия курс в едно цяло. Производните и интегралите, наклоните и площите изглеждат като два отделни свята. Основната теорема на анализа (FTC) показва, че те са точно обратни един на друг: диференцирането отменя интегрирането и обратно.

Дефинирайте функция на площта A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt – натрупаната площ под f от фиксирано начало a до x. Част 1 гласи: скоростта, с която тази площ нараства, е точно височината на кривата в десния край:

Интуитивно: когато преместите десния край съвсем малко, новото парче площ, което добавяте, е (височина) × (малка ширина) = f(x)·dx. Така площта се натрупва със скорост f(x). Фигурата показва запълването на площта и скоростта на нарастването ѝ, която съвпада с височината на кривата.

Къде се използва това в MLОсновната теорема на анализа е причината да можем да преминаваме свободно между плътности и кумулативни вероятности. Функцията на плътността на вероятността (PDF) е производна на кумулативната функция на разпределението (CDF), а CDF е интеграл от PDF: това са Част 1 и Част 2 в действие. Пресмятането на P(a ≤ X ≤ b) = CDF(b) − CDF(a) е буквално Част 2 на FTC. Всеки път, когато един модел…