Изчисление на променлива от първи принципи
В последните два урока събирахте списък от числа и проверявахте накъде отива общата сума. Сега правим един смел скок: ами ако нещата, които събираме, са безкрайно много, безкрайно тънки парчета? Това единствено действие — сумиране на малки парчета, след което намиране на границата — е цялата идея на интеграла.
Ето каква е картината. Искате лицето под крива, но горната част е вълнообразна, така че няма една единствена височина, която да умножите по ширината. Така че малко хитрувате: покривате площта с тънки вертикални правоъгълници, всеки от които е толкова тесен, че кривата отгоре е почти плоска. Събирате лицата им. Няма да получите точния отговор – върховете на правоъгълниците стърчат над или под кривата – но ще се доближите. След това правите правоъгълниците още по-тънки.
За да намерите лицето на фигура с неправилна форма, представете си, че я запълвате с много тънки вертикални ивици, като подреждане на ред монети една до друга под кривата. Всяка ивица е толкова тясна, че върхът й е почти плосък, така че можете да я разглеждате като прост правоъгълник и да съберете лицата. Колкото по-тънко нарязвате ивиците — колкото по-малко правите Δx — толкова по-плътно купчината запълва фигурата и полученото лице се доближава до точния отговор.