Cálculo de una variable desde primeros principios
Para encontrar las cimas y valles de una función (sus máximos y mínimos) buscas los lugares planos. En la cima de una colina o en el fondo de un valle, la línea tangente es horizontal, por lo que la pendiente es cero. Eso son los puntos críticos.
Establecer f′(x) = 0 y resolver da las ubicaciones candidatas. Esta es una condición necesaria para un pico o valle suave, pero no suficiente, ya que un lugar plano también podría ser un momento de pausa (una inflexión tipo silla). Confirmas qué tipo es con una prueba.
Imagina una caminata por colinas ondulantes. A medida que subes hacia la cima de una colina, el suelo se inclina hacia arriba bajo tus botas; mientras te diriges hacia abajo a un valle, se inclina hacia el otro lado. Justo en la mismísima cima de una colina, o en el punto más bajo del fondo de un valle, el suelo es momentáneamente plano, la pendiente es cero. Esos lugares planos son exactamente los puntos críticos que buscas.