Cálculo de una variable desde primeros principios
En las dos últimas lecciones sumaste una lista de números y preguntaste a dónde iba encaminado el total acumulado. Ahora damos un paso audaz: ¿qué pasa si lo que estamos sumando son piezas infinitamente pequeñas e infinitamente delgadas? Ese único movimiento — sumar piezas diminutas, luego tomar un límite — es la idea central de la integral.
Aquí está la imagen. Quieres el área bajo una curva, pero la parte superior es ondulada, por lo que no hay una sola altura a multiplicar por la anchura. Entonces te aprovechas: cubres la región con rectángulos verticales delgados, cada uno tan estrecho que la curva es casi plana en él. Sumas sus áreas. No obtendrás el resultado exacto — los vértices de los rectángulos sobresalen o quedan por debajo de la curva — pero te acercarás al valor real. Luego haces que los rectángulos sean más delgados.
Para encontrar el área de una región de forma extraña, imagina llenarla con muchas tiras verticales delgadas, como apilar una fila de monedas lado a lado bajo la curva. Cada tira es tan estrecha que su parte superior es casi plana, así que puedes tratarla como un simple rectángulo y sumar las áreas. Cuanto más finas cortes las tiras — cuanto más pequeño hagas Δx — más ajustadamente llenará la pila la región, y el área que obtengas se acercará a la respuesta exacta.