Cálculo multivariable desde primeros principios
Añade una dimensión más y obtienes la integral triple: en lugar de recubrir una región 2-D, llenas un sólido 3-D con pequeñas cajas, pesas cada una por el valor de la función allí y sumas. La maquinaria es la misma que antes, sumas de Riemann seguidas de integración iterada, con Fubini aún permitiéndote elegir el orden.
Sobre un cubo [a,b]×[c,d]×[e,g] son tres integrales simples anidadas: integra sobre una variable manteniendo las otras fijas, luego la siguiente, y por último la última. Cada paso es una integración ordinaria del Curso I.
Piensa en pesar un bizcocho cuya densidad varía de un lugar a otro: aireado cerca de la parte superior, más denso y húmedo hacia el medio. Para obtener su masa total lo cortarías en cubitos diminutos, multiplicarías el pequeño volumen de cada cubo por la densidad justo allí, y sumarías cada miga. Encoger los cubos convierte esa suma en la integral triple de la densidad f(x, y, z) sobre el bizcocho.