Cálculo multivariable desde primeros principios
Esta última lección une las dos mitades del curso. Cuando cambias variables en una integral sustituyendo x = g(u), debes tener en cuenta cómo la sustitución estira el espacio. Ese factor de estiramiento es el determinante jacobiano del módulo 3, por lo que la fórmula final es donde los derivados e integrales del curso se encuentran.
Esta es la generalización multivariable de la sustitución u-substitución del Curso I. Allí, el factor era |dx/du|, un 'jacobiano' 1×1. Aquí es |det J_g|, el factor de escala de volumen: mientras que el mapa g comprime o expande pequeñas cajas en el espacio u-espacio a x-espacio, el determinante rescala la integral para mantenerla correcta.
Tratar de integrar sobre una región redonda con baldosas cuadradas x-y es como pavimentar una rotonda circular con ladrillos rectangulares: los bordes nunca encajan limpiamente. Cambia a coordenadas circulares (polares) que se envuelven alrededor del centro y la forma encaja en su lugar naturalmente. El precio por cambiar es el factor de estiramiento, que convierte el elemento de área en r dr dθ porque los anillos más alejados del centro cubren más espacio.