Geometría y álgebra de aplicaciones lineales, vectores y matrices
Diagonalización reescribe una matriz en su propio sistema de coordenadas más natural, el que se construye con sus eigenvectores. En ese sistema la matriz es diagonal: solo escala cada eje eigen por su eigenvalor. Una transformación complicada se convierte en una simple.
Aquí P tiene los eigenvectores como sus columnas y D es diagonal con los eigenvalores. Lee el producto de derecha a izquierda como una receta de tres pasos: P⁻¹ rota hacia coordenadas eigen, D escala cada eje, y P rota de vuelta. Una transformación complicada, expresada como un estiramiento puro entre dos cambios de vista.
La diagonalización hace que las potencias de matrices sean casi gratuitas. Porque los pares intermedios P⁻¹P se cancelan, Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹, y elevar una matriz diagonal a una potencia solo eleva cada entrada diagonal a esa potencia. No se necesita multiplicación matricial repetida.