Geometría y álgebra de aplicaciones lineales, vectores y matrices
La transpuesta Aᵀ invierte una matriz a lo largo de su diagonal principal: las filas se convierten en columnas y las columnas en filas. El elemento (i, j) intercambia con el elemento (j, i). Una (m×n) matriz se convierte en (n×m).
Imagina una hoja de cálculo donde las filas son personas y las columnas son los meses que cada uno pagó. Transponerla inclina toda la tabla sobre su diagonal de modo que las filas se conviertan en columnas: ahora las filas son meses y las columnas son personas. Ningún número se pierde o se cambia — cada valor simplemente se mueve a su celda reflejada, donde su etiqueta de fila y etiqueta de columna han intercambiado lugares.
Una matriz que es igual a su propia transpuesta, A = Aᵀ, es una matriz simétrica: balanceada por el espejo en la diagonal, con Aᵢⱼ = Aⱼᵢ. Estas matrices son lo suficientemente especiales como para merecer dos lecciones completas dedicadas a ellas.