Las matemáticas de la incertidumbre
Todo lo que aprendiste sobre esperanza y varianza se traslada a las variables continuas. Solo cambias la suma por una integral. El peso de la PMF p(x) se convierte en la densidad f(x) dx, y "sumar para todos los valores" se vuelve "integrar a lo largo de la línea."
La intuición es idéntica: E[X] sigue siendo el punto de equilibrio de la masa de la densidad, y la varianza sigue siendo la distancia media al cuadrado desde ese punto. La linealidad y la regla de escalamiento Var(aX+b)=a²Var(X), todo sobrevive sin cambios.
Piensa en un balancín con peso untado de manera irregular a lo largo de la tabla en lugar de estar sentado en un solo punto. El único punto donde se equilibra es E[X], la media de la densidad. Cuán lejos se arroja el peso desde ese pivote, medido como distancia cuadrada promedio, es Var(X): el peso agrupado cerca del centro significa una varianza pequeña, el peso empujado hacia los extremos lejanos significa una varianza grande.