Calcul à une variable depuis les premiers principes
Prenez une suite et commencez à additionner ses termes au fur et à mesure. Après un terme, vous avez a₁. Après deux termes, a₁ + a₂. Après trois termes, a₁ + a₂ + a₃. Chacun de ces totaux cumulés s'appelle une somme partielle, notée Sₙ — la somme des n premiers termes.
Les sommes partielles forment elles-mêmes une nouvelle suite (S₁, S₂, S₃, …), et nous pouvons poser la même question que dans la leçon précédente : ce total cumulé converge-t-il vers une limite ? Si c'est le cas, cette limite s'appelle la somme de la série.
Imaginez un bocal à pourboires que vous continuez à remplir : chaque total cumulé est une somme partielle, l'argent dans le bocal après la dernière contribution. Si chaque contribution est la moitié de la précédente — comme ajouter 1/2 + 1/4 + 1/8 + … d'un dollar — le bocal se remplit rapidement au début, puis s'élève à peine, effleurant un plafond. Ce plafond qu'il ne dépasse jamais tout à fait est la somme de la série, ici exactement 1 dollar.